Le nombre Pi dans la nature : la surprise de Ramanujan

Les mathématiques centenaires de Ramanujan apparaissent dans un article de physique à Bangalore

Le 22 décembre 2025, un article de chercheurs de l'Indian Institute of Science (IISc) à Bangalore a été publié dans Physical Review Letters avec une affirmation simple et frappante : certaines des formules exotiques écrites par Srinivasa Ramanujan en 1914 ne sont pas de simples inventions humaines pour calculer les décimales de pi — elles apparaissent naturellement au sein de théories physiques. Les auteurs, dirigés par Aninda Sinha avec son ancien étudiant Faizan Bhat, soutiennent que ces identités classiques sont le miroir des mathématiques décrivant les systèmes invariants d'échelle. En résumé, les structures mêmes qui permettent aux mathématiciens de calculer pi avec des billions de chiffres régissent également des phénomènes aussi divers que la turbulence des fluides, la percolation et certains aspects de la physique des trous noirs.

Les formules de Ramanujan à la rencontre de la physique

Ramanujan est célèbre pour avoir produit des centaines de formules profondes et souvent mystérieuses — beaucoup découvertes sans démonstration — qui relient les formes modulaires, les séries hypergéométriques et d'autres domaines de la théorie des nombres. Plus tard, des mathématiciens ont reformulé plusieurs de ses identités en algorithmes extraordinairement efficaces pour calculer pi. Ce que Sinha et Bhat ont entrepris de faire n'était pas de recalculer pi, mais de se demander pourquoi ces identités algébriques apparaissent si fréquemment dans des branches non liées des mathématiques et de l'informatique.

Leur réponse, présentée dans Physical Review Letters, est que ces structures de Ramanujan sont des résultats naturels d'une classe de théories physiques appelées théories logarithmiques des champs conformes (logarithmic CFTs). Il s'agit de cadres mathématiques utilisés par les physiciens pour décrire des systèmes qui conservent le même aspect à différentes échelles de longueur — une propriété connue sous le nom d'invariance d'échelle. Le résultat surprenant est qu'il existe un pont entre les mathématiques pures centenaires et des modèles concrets de comportement physique.

Théorie logarithmique des champs conformes et symétrie d'échelle

La théorie des champs conformes (CFT) est le langage utilisé par les physiciens pour décrire les points critiques — ces valeurs de paramètres particulières où un système subit une transition de phase et présente une invariance d'échelle. Les CFT classiques ont permis des avancées en physique des particules, en matière condensée et en mécanique statistique. Les CFT logarithmiques en sont un cousin plus exotique : les fonctions de corrélation dans ces théories présentent des logarithmes et une algèbre d'opérateurs différente, reflétant des dégénérescences supplémentaires et des comportements à longue portée subtils que les CFT standards ne capturent pas.

Pourquoi est-ce important pour pi ? Le point n'est pas qu'une théorie des champs au comportement logarithmique génère les décimales de pi, mais que les fonctions spéciales et les séries écrites par Ramanujan sont des solutions naturelles ou des invariants au sein de ces théories. Lorsqu'un système physique se trouve à un point critique avec une symétrie d'échelle — par exemple, le seuil où un matériau poreux devient soudainement conducteur par percolation ou les limites statistiques d'une cascade turbulente — les objets mathématiques utilisés pour le décrire peuvent être précisément les mêmes séries-q ou constructions modulaires que Ramanujan a étudiées.

En d'autres termes : la symétrie d'échelle organise les corrélations physiques en modèles que les mathématiques savaient déjà décrire, des décennies avant que les physiciens ne formulent ces systèmes particuliers.

Là où pi apparaît : turbulence, percolation et trous noirs

L'article de l'IISc met en lumière trois domaines où les structures de Ramanujan apparaissent de manière particulièrement naturelle. Le premier est la turbulence — le mouvement chaotique et multi-échelle des fluides — où l'invariance d'échelle dans certains régimes statistiques conduit à un comportement analytique qui fait écho aux identités de Ramanujan. Le second est la percolation, le modèle probabiliste de connectivité dans les milieux aléatoires : au seuil critique, la géométrie des amas connectés est fractale et décrite par l'invariance conforme, et les CFT logarithmiques constituent l'un des langages effectifs appropriés pour capturer ses corrélations.

De Ramanujan à Chudnovsky : le lien informatique

On assimile souvent pi au nombre familier 3,14 appris à l'école, mais mathématiquement, pi est une constante irrationnelle avec une infinité de décimales non répétitives. Le calcul pratique de pi avec une grande précision repose sur des séries et des algorithmes ingénieux. Plusieurs des méthodes les plus rapides tirent leurs racines conceptuelles des identités découvertes par Ramanujan ; des raffinements ultérieurs, tels que l'algorithme de Chudnovsky, intègrent ces idées dans des routines extrêmement efficaces qui ont été utilisées pour pousser les calculs de pi à des centaines de billions de chiffres.

Aninda Sinha a souligné que l'utilisation généralisée des identités de type Ramanujan dans les algorithmes est la raison pour laquelle le lien avec les théories physiques est important : ces modèles algébriques ne sont pas seulement puissants sur le plan informatique, ils sont aussi des résultats naturels des mêmes principes de symétrie qui régissent certains systèmes physiques. En d'autres termes, les mathématiques qui nous aident à traiter les décimales de pi ne sont pas une astuce artificielle — elles reflètent des modèles que la nature utilise dans ses propres calculs.

Ce que cela signifie — et ne signifie pas

Il est important de être précis sur ce que l'étude de l'IISc ne prétend pas. La recherche ne change pas la valeur numérique de pi. Elle ne rend pas pi égal à 3,14 — cette décimale n'est qu'une troncature de faible précision familière depuis l'école. Ce que ce travail apporte, c'est une explication conceptuelle de la raison pour laquelle une famille particulière de formules produisant pi apparaît également comme des objets naturels dans plusieurs théories physiquement significatives.

Le résultat doit être compris comme une vision unificatrice : les mathématiques et la physique se reflètent souvent, et les identités découvertes dans un domaine réapparaissent fréquemment dans un autre. Montrer que les formules de 1914 de Ramanujan surgissent au sein des CFT logarithmiques est un exemple frappant de cette résonance interdisciplinaire. Pour les mathématiciens, cela apporte une intuition sur la raison pour laquelle certaines séries-q et certains objets modulaires sont si robustes ; pour les physiciens, cela fournit de nouveaux outils analytiques pour traiter les problèmes de turbulence, de percolation et de modèles simplifiés de trous noirs.

Prochaines étapes : théorie, numérique et expériences

Les prochaines étapes immédiates sont principalement théoriques et computationnelles. Les théories logarithmiques des champs conformes sont techniquement exigeantes ; l'article de l'IISc ouvre une feuille de route pour utiliser les identités de type Ramanujan comme des leviers analytiques au sein de ces modèles. Cela peut rendre certains calculs plus limpides et suggérer de nouvelles vérifications numériques.

Du côté expérimental, les implications sont plus indirectes. La turbulence et la percolation sont des phénomènes réels et mesurables, de sorte que ces idées pourraient finalement guider de nouvelles analyses des flux en laboratoire ou des matériaux proches de la criticité. Les trous noirs, en revanche, sont observés astronomiquement par des signatures indirectes ; traduire les échos mathématiques en diagnostics observables sera un projet plus long et plus spéculatif.

Quel que soit l'horizon temporel, l'article rappelle que la frontière entre les mathématiques pures et la physique théorique reste poreuse. Un siècle après que Ramanujan a consigné ses formules sur le papier, la physique contemporaine a retrouvé ces mêmes formes dans les équations qui décrivent comment la nature s'organise à l'état critique.

Sources