Liczba pi w naturze: Niespodzianka Ramanujana

Stuletnia matematyka Ramanujana pojawia się w pracy fizyków z Bangalore

22 grudnia 2025 r. w czasopiśmie Physical Review Letters ukazał się artykuł badaczy z Indian Institute of Science (IISc) w Bangalore z prostą, lecz uderzającą tezą: niektóre z egzotycznych wzorów zapisanych przez Srinivasa Ramanujana w 1914 roku nie są jedynie ludzkimi wymysłami służącymi do obliczania cyfr liczby pi — pojawiają się one naturalnie w teoriach fizycznych. Autorzy, pod kierownictwem Anindy Sinha i jego byłego studenta Faizana Bhata, argumentują, że te klasyczne tożsamości mają swoje odzwierciedlenie w matematyce opisującej układy niezmiennicze skali. Krótko mówiąc, te same struktury, które pozwalają matematykom obliczać pi z dokładnością do bilionów cyfr, rządzą również zjawiskami tak odmiennymi, jak turbulencja płynów, perkolacja czy aspekty fizyki czarnych dziur.

Wzory Ramanujana spotykają się z fizyką

Ramanujan słynie z opracowania setek głębokich i często tajemniczych wzorów — z których wiele odkrył bez dowodów — łączących formy modularne, szeregi hipergeometryczne i inne działy teorii liczb. Późniejsi matematycy przekształcili kilka jego tożsamości w algorytmy, które są niezwykle wydajne w obliczaniu liczby pi. Sinha i Bhat nie postawili sobie za cel ponownego obliczenia pi, lecz zadanie pytania, dlaczego te tożsamości algebraiczne pojawiają się tak wielokrotnie w niezwiązanych ze sobą gałęziach matematyki i informatyki.

Ich odpowiedź, przedstawiona w Physical Review Letters, brzmi: struktury Ramanujana są naturalnymi produktami pewnej klasy teorii fizycznych zwanych logarytmicznymi konforemnymi teoriami pola (logarytmicznymi CFT). Są to ramy matematyczne, których fizycy używają do opisu układów wyglądających tak samo w różnych skalach długości — właściwość ta znana jest jako niezmienniczość skalowa. Zaskakującym efektem jest istnienie pomostu łączącego stuletnią czystą matematykę z konkretnymi modelami zachowań fizycznych.

Logarytmiczna konforemna teoria pola i symetria skalowa

Konforemna teoria pola (CFT) to język, którego fizycy używają do opisu punktów krytycznych — specjalnych wartości parametrów, w których układ przechodzi przemianę fazową i wykazuje niezmienniczość skalową. Klasyczne CFT napędzały postęp w fizyce cząstek elementarnych, fizyce materii skondensowanej i mechanice statystycznej. Logarytmiczne CFT są ich bardziej egzotycznym kuzynem: funkcje korelacji w tych teoriach zawierają logarytmy i inny rodzaj algebry operatorów, co odzwierciedla dodatkowe degeneracje i subtelne zachowania dalekozasięgowe, których standardowe CFT nie uchwycą.

Dlaczego ma to znaczenie dla liczby pi? Chodzi nie o to, że teoria pola o logarytmicznym zachowaniu „wypluwa” cyfry liczby pi, lecz o to, że funkcje specjalne i szeregi zapisane przez Ramanujana są naturalnymi rozwiązaniami lub niezmiennikami w ramach tych teorii. Gdy układ fizyczny znajduje się w punkcie krytycznym z symetrią skalową — na przykład na progu, przy którym materiał porowaty nagle zaczyna przewodzić w wyniku perkolacji, lub w statystycznych granicach kaskady turbulentnej — obiekty matematyczne używane do jego opisu mogą być tymi samymi q-szeregami lub konstrukcjami modularnymi, które badał Ramanujan.

Innymi słowy: symetria skalowa organizuje korelacje fizyczne w schematy, które matematyka potrafiła już opisać na dziesięciolecia przed tym, jak fizycy sformułowali te konkretne układy.

Gdzie pojawia się pi: turbulencja, perkolacja i czarne dziury

Artykuł IISc wyróżnia trzy domeny, w których struktury Ramanujana pojawiają się szczególnie naturalnie. Pierwszą jest turbulencja — chaotyczny, wieloskalowy ruch płynów — gdzie niezmienniczość skalowa w pewnych reżimach statystycznych prowadzi do zachowań analitycznych nawiązujących do tożsamości Ramanujana. Drugą jest perkolacja, probabilistyczny model łączności w ośrodkach losowych: w progu krytycznym geometria połączonych klastrów jest fraktalna i opisywana przez niezmienniczość konforemną, a logarytmiczne CFT są jednym z właściwych języków efektywnych do opisu jej korelacji.

Od Ramanujana do Czudnowskiego: powiązanie obliczeniowe

Ludzie często utożsamiają pi ze znaną ze szkoły liczbą 3,14, ale matematycznie pi jest stałą niewymierną o nieskończonej liczbie niepowtarzających się cyfr. Praktyczne obliczanie pi z wysoką precyzją opiera się na sprytnych szeregach i algorytmach. Kilka z najszybszych metod wywodzi swoje koncepcyjne korzenie z tożsamości odkrytych przez Ramanujana; późniejsze udoskonalenia, takie jak algorytm Czudnowskich, pakują te idee w niezwykle wydajne procedury, które posłużyły do przesunięcia obliczeń pi w setki bilionów cyfr.

Aninda Sinha zauważył, że powszechne stosowanie tożsamości w stylu Ramanujana w algorytmach jest powodem, dla którego związek z teoriami fizycznymi ma znaczenie: te wzorce algebraiczne są nie tylko potężne obliczeniowo, ale są również naturalnymi wynikami tych samych zasad symetrii, które rządzą niektórymi układami fizycznymi. Innymi słowy, matematyka, która pomaga nam przetwarzać cyfry liczby pi, nie jest wymyślną sztuczką — odzwierciedla wzorce, których natura używa we własnych obliczeniach.

Co to oznacza, a czego nie

Ważne jest, aby precyzyjnie określić, czego badanie IISc nie twierdzi. Badania te nie zmieniają wartości numerycznej pi. Nie sprawiają, że pi staje się równe 3,14 — ten ułamek dziesiętny jest jedynie znanym ze szkoły przybliżeniem o niskiej precyzji. Praca ta oferuje koncepcyjne wyjaśnienie, dlaczego konkretna rodzina wzorów generujących pi pojawia się również jako naturalne obiekty w kilku znaczących fizycznie teoriach.

Wynik ten najlepiej rozumieć jako jednoczące spostrzeżenie: matematyka i fizyka często wzajemnie się odzwierciedlają, a tożsamości odkryte w jednej dziedzinie często pojawiają się w innej. Wykazanie, że wzory Ramanujana z 1914 roku pojawiają się w logarytmicznych CFT, jest uderzającym przykładem tego interdyscyplinarnego rezonansu. Matematykom dodaje to intuicji, dlaczego pewne q-szeregi i obiekty modularne są tak solidne; fizykom dostarcza nowych narzędzi analitycznych do rozwiązywania problemów związanych z turbulencją, perkolacją i uproszczonymi modelami czarnych dziur.

Następne kroki: teoria, obliczenia numeryczne i eksperymenty

Najbliższe kroki są głównie teoretyczne i obliczeniowe. Logarytmiczne konforemne teorie pola są wymagające technicznie; praca IISc otwiera mapę drogową dla wykorzystania tożsamości typu Ramanujana jako analitycznych punktów zaczepienia wewnątrz tych modeli. Może to sprawić, że niektóre obliczenia staną się przejrzystsze i zasugerować nowe testy numeryczne.

On stronie eksperymentalnej implikacje są bardziej pośrednie. Turbulencja i perkolacja to rzeczywiste, mierzalne zjawiska, więc te idee mogłyby ostatecznie posłużyć jako wskazówki do nowych analiz przepływów laboratoryjnych lub materiałów w pobliżu punktu krytycznego. Czarne dziury są natomiast obserwowane astronomicznie poprzez pośrednie sygnały; przełożenie matematycznych ech na dające się zaobserwować diagnostyki będzie dłuższym, bardziej spekulatywnym projektem.

Niezależnie od horyzontu czasowego, artykuł ten przypomina, że granica między czystą matematyką a fizyką teoretyczną pozostaje przepuszczalna. Sto lat po tym, jak Ramanujan zapisał swoje wzory na papierze, współczesna fizyka odnalazła te same kształty w równaniach opisujących, jak natura organizuje się w stanach krytycznych.

Źródła