Doğadaki Pi: Ramanujan'ın Sürprizi

Ramanujan'ın yüzyıllık matematiği Bangalore'daki bir fizik makalesinde ortaya çıktı

22 Aralık 2025 tarihinde Bangalore'daki Hindistan Bilim Enstitüsü'nden (IISc) araştırmacıların Physical Review Letters'da yayımlanan makalesi basit ve çarpıcı bir iddia ortaya koydu: Srinivasa Ramanujan'ın 1914'te yazdığı bazı egzotik formüller, pi basamaklarını hesaplamak için kullanılan basit insan icatları değil; fizik teorilerinin içinde doğal olarak ortaya çıkıyorlar. Aninda Sinha liderliğindeki ve eski öğrencisi Faizan Bhat ile birlikte çalışan yazarlar, bu klasik özdeşliklerin ölçek değişmez sistemleri tanımlayan matematik tarafından yansıtıldığını savunuyorlar. Kısacası, matematikçilerin pi sayısını trilyonlarca basamağa kadar hesaplamasını sağlayan aynı yapılar, akışkan türbülansı, perkolasyon ve kara delik fiziğinin bazı yönleri kadar birbirinden farklı fenomenleri de yönetiyor.

Ramanujan'ın formülleri fizikle buluşuyor

Ramanujan, birçoğu kanıtsız olarak keşfedilen; modüler formları, hipergeometrik serileri ve sayılar teorisinin diğer kısımlarını birbirine bağlayan yüzlerce derin ve genellikle gizemli formül üretmesiyle tanınır. Daha sonraki matematikçiler, onun bu özdeşliklerinden bazılarını pi sayısını hesaplamak için olağanüstü verimli algoritmalara dönüştürdüler. Sinha ve Bhat'ın yapmaya çalıştığı şey pi'yi yeniden hesaplamak değil, bu cebirsel özdeşliklerin neden matematiğin ve hesaplamanın birbiriyle ilgisiz dallarında bu kadar sık ortaya çıktığını sorgulamaktı.

Physical Review Letters'da sunulan cevapları, bu Ramanujan yapılarının logaritmik konformal alan teorileri (logaritmik CFT'ler) olarak adlandırılan bir fizik teorisi sınıfının doğal çıktıları olduğudur. Bunlar, fizikçilerin farklı uzunluk ölçeklerinde aynı görünen sistemleri (ölçek değişmezliği olarak bilinen bir özellik) tanımlamak için kullandıkları matematiksel çerçevelerdir. Şaşırtıcı sonuç ise, yüzyıllık saf matematikten fiziksel davranışın somut modellerine uzanan bir köprünün var olmasıdır.

Logaritmik konformal alan teorisi ve ölçek simetrisi

Konformal alan teorisi (CFT), fizikçilerin kritik noktaları —bir sistemin faz geçişine uğradığı ve ölçek değişmezliği gösterdiği özel parametre değerlerini— tanımlamak için kullandıkları dildir. Klasik CFT'ler parçacık fiziği, yoğun madde ve istatistiksel mekanikteki ilerlemelere güç vermiştir. Logaritmik CFT'ler ise daha egzotik bir kuzendir: bu teorilerdeki korelasyon fonksiyonları logaritmalar ve farklı bir operatör cebiri içerir; bu da standart CFT'lerin yakalayamadığı ekstra dejenerelikleri ve ince uzun menzilli davranışları yansıtır.

Bu durum pi için neden önemli? Mesele logaritmik davranan bir alan teorisinin pi'nin basamaklarını tükürmesi değil, Ramanujan'ın yazdığı özel fonksiyonların ve serilerin bu teorilerin içindeki doğal çözümler veya invariantlar (değişmezler) olmasıdır. Fiziksel bir sistem ölçek simetrisine sahip bir kritik noktada bulunduğunda —örneğin, gözenekli bir malzemenin aniden perkolasyon yoluyla iletken hale geldiği eşik veya türbülanslı bir kaskadın istatistiksel sınırları— onu tanımlamak için kullandığınız matematiksel nesneler, Ramanujan'ın üzerinde çalıştığı q-serileri veya modüler yapıların aynısı olabilir.

Başka bir deyişle: ölçek simetrisi, fiziksel korelasyonları, fizikçiler bu özel sistemleri çerçevelemeden onlarca yıl önce matematiğin zaten nasıl tanımlanacağını bildiği kalıplar halinde organize eder.

Pi'nin ortaya çıktığı yerler: türbülans, perkolasyon ve kara delikler

IISc makalesi, Ramanujan yapılarının özellikle doğal olarak göründüğü üç alanı vurguluyor. Birincisi, akışkanların kaotik, çok ölçekli hareketi olan türbülanstır; burada belirli istatistiksel rejimlerdeki ölçek değişmezliği, Ramanujan'ın özdeşliklerini yansıtan analitik davranışlara yol açar. İkincisi, rastgele ortamlardaki bağlanabilirlik için olasılıksal model olan perkolasyondur: kritik eşikte, bağlı kümelerin geometrisi fraktaldır ve konformal değişmezlik ile tanımlanır; logaritmik CFT'ler ise bu korelasyonları yakalamak için doğru etkin dillerden biridir.

Ramanujan'dan Chudnovsky'ye: hesaplama bağlantısı

İnsanlar genellikle pi'yi okuldan aşina olunan 3,14 sayısıyla eş tutarlar, ancak matematiksel olarak pi, sonsuz sayıda kendini tekrar etmeyen basamağa sahip irrasyonel bir sabittir. Pi'nin yüksek hassasiyetle pratik hesaplaması, akıllı serilere ve algoritmalara dayanır. En hızlı yöntemlerin birçoğu, kavramsal köklerini Ramanujan'ın keşfettiği özdeşliklere dayandırır; Chudnovsky algoritması gibi daha sonraki geliştirmeler, bu fikirleri pi hesaplamalarını yüz trilyonlarca basamağa taşımak için kullanılan son derece verimli rutinler haline getirir.

Aninda Sinha, Ramanujan tarzı özdeşliklerin algoritmalarda yaygın kullanımının, fizik teorileriyle olan bağlantının neden önemli olduğunu gösterdiğini belirtti: bu cebirsel kalıplar sadece hesaplama açısından güçlü değil, aynı zamanda belirli fiziksel sistemleri yöneten aynı simetri ilkelerinin doğal sonuçlarıdır. Başka bir deyişle, pi basamaklarını hesaplamamıza yardımcı olan matematik yapay bir hile değil; doğanın kendi hesaplamalarında kullandığı kalıpları yansıtıyor.

Bu ne anlama geliyor — ve ne anlama gelmiyor

IISc çalışmasının neyi iddia etmediği konusunda kesin olmak önemlidir. Araştırma pi'nin sayısal değerini değiştirmiyor. Pi'yi 3,14'e eşitlemiyor; bu ondalık sayı sadece okuldan aşina olunan düşük hassasiyetli bir kısaltmadır. Çalışmanın yaptığı şey, pi'yi üreten belirli bir formül ailesinin neden fiziksel olarak anlamlı birkaç teoride doğal nesneler olarak ortaya çıktığına dair kavramsal bir açıklama sunmaktır.

Sonuç, en iyi birleştirici bir içgörü olarak anlaşılabilir: matematik ve fizik genellikle birbirini yansıtır ve bir alanda keşfedilen özdeşlikler sıklıkla diğerinde yeniden ortaya çıkar. Ramanujan'ın 1914 formüllerinin logaritmik CFT'lerin içinde ortaya çıktığını göstermek, bu disiplinler arası rezonansın çarpıcı bir örneğidir. Matematikçiler için bu, belirli q-serilerinin ve modüler nesnelerin neden bu kadar sağlam olduğuna dair sezgi ekler; fizikçiler içinse türbülans, perkolasyon ve basitleştirilmiş kara delik modellerindeki sorunları ele almak için yeni analitik araçlar sağlar.

Sonraki adımlar: teori, nümerik hesaplamalar ve deneyler

Bir sonraki yakın adımlar ağırlıklı olarak teorik ve hesaplamalıdır. Logaritmik konformal alan teorileri teknik olarak zordur; IISc makalesi, Ramanujan tipi özdeşlikleri bu modeller içinde analitik tutamaklar olarak kullanmak için bir yol haritası açıyor. Bu, bazı hesaplamaları daha net hale getirebilir ve yeni nümerik kontroller önerebilir.

Deneysel tarafta ise sonuçlar daha dolaylıdır. Türbülans ve perkolasyon gerçek, ölçülebilir fenomenlerdir, bu nedenle fikirler nihayetinde laboratuvar akışlarının veya kritiklik sınırındaki malzemelerin yeni analizlerine rehberlik edebilir. Kara delikler ise aksine, astronomik olarak dolaylı işaretler yoluyla gözlemlenir; matematiksel yankıları gözlemlenebilir teşhis araçlarına dönüştürmek daha uzun ve daha spekülatif bir proje olacaktır.

Zaman çizelgesi ne olursa olsun, makale saf matematik ile teorik fizik arasındaki sınırın geçirgen kalmaya devam ettiğini hatırlatıyor. Ramanujan'ın formüllerini kağıda dökmesinden bir asır sonra, çağdaş fizik, doğanın kritiklik anında kendisini nasıl organize ettiğini tanımlayan denklemlerde aynı şekilleri buldu.

Kaynaklar