拉马努金一个世纪前的数学成果出现在班加罗尔的一篇物理论文中
2025年12月22日，印度科学理工学院（Indian Institute of Science, IISc）班加罗尔分校的研究人员在《物理评论快报》（Physical Review Letters）上发表了一篇论文，提出了一个简单而引人注目的观点：Srinivasa Ramanujan 在1914年写下的一些奇异公式并不仅仅是人类为了计算圆周率（pi）位数而发明的数学工具——它们自然地出现在物理理论之中。由 Aninda Sinha 及其前学生 Faizan Bhat 领导的作者团队认为，描述尺度不变系统（scale‑invariant systems）的数学模型正映射了这些经典的恒等式。简而言之，让数学家能够计算出数万亿位圆周率的相同结构，也支配着诸如流体湍流、渗透现象以及黑洞物理学等截然不同的领域。
拉马努金公式与物理学的碰撞
Ramanujan 以产出数百个深奥且往往充满神秘感的公式而闻名——其中许多公式在发现时并无证明——这些公式将模形式（modular forms）、超几何级数（hypergeometric series）和数论的其他部分联系在一起。后世数学家将他的几个恒等式重新包装成计算圆周率极其高效的算法。Sinha 和 Bhat 的初衷并非重新计算圆周率，而是探寻为什么这些代数恒等式会如此反复地出现在互不相关的数学和计算分支中。
他们在《物理评论快报》上给出的答案是，这些 Ramanujan 结构是一类被称为对数共形场论（logarithmic conformal field theories, logarithmic CFTs）的物理理论的自然产物。这些是物理学家用来描述在不同长度尺度下看起来都相同的系统（这种特性被称为尺度不变性）的数学框架。令人惊讶的结果是，在有着百年历史的纯数学与具体的物理行为模型之间存在着一座桥梁。
对数共形场论与尺度对称性
共形场论（CFT）是物理学家用来描述临界点（critical points）的语言——即系统发生相变并表现出尺度不变性的特殊参数值。经典的 CFT 推动了粒子物理、凝聚态物理和统计力学的进步。对数 CFT 则是其更为奇特的近亲：这些理论中的相关函数具有对数特征和一种不同的算子代数，反映了标准 CFT 无法捕捉到的额外简并性和微妙的长程行为。
为什么这对圆周率很重要？重点不在于一个具有对数行为的场论会吐出圆周率的位数，而在于 Ramanujan 写下的特殊函数和级数是这些理论内部的自然解或不变量。当一个物理系统处于具有尺度对称性的临界点时——例如，多孔材料通过渗透突然导电的阈值，或者是湍流级联的统计极限——你用来描述它的数学对象可能正是 Ramanujan 研究过的 q-级数（q‑series）或模构造。
换句话说：尺度对称性将物理相关性组织成某种模式，而数学界早在物理学家界定这些特定系统几十年前，就已经知道如何描述这些模式了。
圆周率出现的地方：湍流、渗透与黑洞
这篇来自 IISc 的论文强调了 Ramanujan 结构自然出现的三个领域。第一个是湍流——流体混沌的多尺度运动——在某些统计机制下的尺度不变性导致了与 Ramanujan 恒等式相呼应的解析行为。第二个是渗透，即随机介质中连接性的概率模型：在临界阈值处，连接簇的几何形状具有分形特征，并由共形不变性描述，而对数 CFT 是捕捉其相关性的正确有效语言之一。
从拉马努金到 Chudnovsky：计算的纽带
人们通常将圆周率等同于课堂上熟悉的数字 3.14，但在数学上，圆周率是一个具有无限不循环位数的无理常数。圆周率的高精度实际计算依赖于巧妙的级数和算法。几种最快的方法在概念上都可以追溯到 Ramanujan 发现的恒等式；后来的改进，如 Chudnovsky 算法（Chudnovsky algorithm），将这些思想封装成极其高效的程序，已将圆周率的计算推向了数百亿亿位。
Aninda Sinha 指出，Ramanujan 式恒等式在算法中的广泛应用正是其与物理理论联系重大的原因：这些代数模式不仅在计算上强大，它们也是支配某些物理系统的相同对称性原理的自然结果。换言之，帮助我们处理圆周率位数的数学并非一种刻意设计的技巧——它反映了自然界在自身计算中使用的模式。
这意味着什么——以及不意味着什么
明确 IISc 的研究并未声称什么是很重要的。这项研究并未改变圆周率的数值。它并没有让圆周率等于 3.14——那个小数仅仅是学校里熟悉的低精度截断。这项工作的意义在于，它为为什么产生圆周率的特定公式族会作为自然对象出现在几个具有物理意义的理论中，提供了一个概念上的解释。
这一结果最好被理解为一种统一性的洞察：数学和物理往往互为镜像，在一个领域发现的恒等式经常在另一个领域重新出现。证明 Ramanujan 的 1914 年公式出现在对数 CFT 内部，是这种跨学科共鸣的一个惊人范例。对于数学家来说，这增加了关于为什么某些 q-级数和模对象如此稳健的直觉；对于物理学家来说，它提供了处理湍流、渗透和简化黑洞模型问题的新分析工具。
下一步：理论、数值与实验
接下来的工作主要是理论和计算层面的。对数共形场论在技术上要求极高；IISc 的论文为在这些模型中将 Ramanujan 型恒等式作为分析手段开辟了路线图。这可以使某些计算变得更简洁，并启发新的数值校验。
在实验方面，其影响更为间接。湍流和渗透是真实的、可测量的现象，因此这些思想最终可能会指导对实验室流体或临界点附近材料的新分析。相比之下，黑洞是通过间接信号进行天文观测的；将数学回响转化为可观测的诊断手段将是一个更漫长、更具推测性的项目。
无论时间表如何，这篇论文都提醒我们，纯数学与理论物理之间的边界依然是渗透性的。在 Ramanujan 将他的公式记录在纸上一个世纪后，当代物理学在描述自然界如何在临界状态下自我组织的方程中，发现了这些相同的形状。
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