Comment l'espace de Hilbert discret résout la mécanique quantique

La discrétisation de l’espace de Hilbert résout les mystères quantiques en remplaçant les continuums lisses et infinis par un espace d’états discrétisé par la gravité, où les amplitudes au carré et les phases sont des nombres rationnels. Ce passage du continu au discret modélise la mécanique quantique dans un cadre superdéterministe qui explique les violations des inégalités de Bell sans recourir à la non-localité ou à une réalité indéfinie. En traitant l’espace d’états quantiques comme une limite singulière d’un système fini, les chercheurs peuvent résoudre le problème de la mesure et révéler la véritable nature informationnelle de la fonction d’onde.

Pendant des décennies, la nature paradoxale de la mécanique quantique a été attribuée à l’« étrangeté » intrinsèque du monde subatomique. Cette vision traditionnelle suggère que les particules peuvent exister en plusieurs endroits à la fois et s’influencer instantanément sur de vastes distances. Cependant, de nouvelles recherches menées par Tim Palmer proposent que ces paradoxes ne proviennent pas de la nature elle-même, mais plutôt de notre dépendance au continuum mathématique — l’hypothèse selon laquelle l’espace et les états sont infiniment divisibles. En introduisant la mécanique quantique rationnelle (Rational Quantum Mechanics - RaQM), Palmer suggère que l’univers pourrait en réalité fonctionner sur un fondement discret et pixelisé qui s’aligne plus étroitement avec les principes de la relativité générale et de la théorie des nombres.

Comment la discrétisation de l’espace de Hilbert résout-elle les mystères quantiques ?

La discrétisation de l’espace de Hilbert résout les mystères de la mécanique quantique en utilisant un cadre de théorie des nombres où les états sont définis par des nombres rationnels déterminés par un grand paramètre premier p. Cette approche élimine l’exigence non physique d’une précision infinie, permettant à des phénomènes quantiques comme les interférences d’émerger de la géométrie d’un espace d’états fini. En considérant la fonction d’onde comme une représentation d’informations discrètes, la théorie évite les contradictions logiques inhérentes aux modèles mathématiques continus.

Les axiomes traditionnels de la mécanique quantique dépendent fortement de la nature continue de l’espace de Hilbert, que de nombreux physiciens jugent aujourd’hui non physique. Dans un modèle continu, le nombre d’états possibles est infini et non dénombrable, ce qui conduit à la non-commutativité des observables et au principe d’incertitude. La mécanique quantique rationnelle (RaQM) de Palmer remplace cela par un espace d’états discrétisé par la gravité. Cette discrétisation signifie que les « angles » entre les états quantiques ne peuvent pas prendre n’importe quelle valeur ; ils sont restreints à des multiples rationnels spécifiques, ce qui modifie fondamentalement la façon dont nous calculons les probabilités et comprenons le comportement des particules.

Le mystère de Feynman : l’interférence et l’énigme quantique

Richard Feynman a notoirement affirmé que l’interférence est le seul véritable mystère de la mécanique quantique, servant de racine à tous les autres paradoxes. Les figures d’interférence, comme celles observées dans l’expérience de la double fente, démontrent que les particules possèdent des propriétés ondulatoires qui défient la logique classique. Dans le cadre de la RaQM, ce mystère est abordé en reconnaissant que la dualité onde-corpuscule et la complémentarité sont des conséquences de la nature discrète de l’espace d’états sous-jacent, plutôt que d’une « schizophrénie » fondamentale de la matière elle-même.

Historiquement, les physiciens ont lutté pour concilier ces effets d’interférence avec le réalisme classique. Le principe d’incertitude, qui empêche la connaissance simultanée de la position et de la quantité de mouvement, surgit naturellement lorsque l’on suppose que les états existent sur une variété lisse. Cependant, si l’espace d’états est discret, certains états « intermédiaires » n’existent tout simplement pas. Cette absence d’états intermédiaires empêche la mesure simultanée de certaines propriétés, fournissant une base géométrique et logique à l’incertitude que Feynman a soulignée comme étant le cœur de l’énigme quantique.

Pourquoi les physiciens pensent-ils que le continuum est problématique en mécanique quantique ?

Les physiciens soutiennent que le continuum est problématique en mécanique quantique car il dissimule l’essence informationnelle de la fonction d’onde et engendre le problème de la mesure. L’hypothèse de variables continues mène au réalisme contrefactuel, une exigence axiomatique du théorème de Bell qui entre souvent en conflit avec les résultats expérimentaux. La discrétisation suggère que les lois de la physique sont holistiques, potentiellement plafonnées par des limites gravitationnelles qui empêchent la mise à l’échelle infinie de la cohérence quantique.

L’illusion du continuum force les mathématiques à rendre compte d’une précision infinie, laquelle n’est jamais observée dans les expériences physiques. John Wheeler a un jour noté que la fonction d’onde est essentiellement un outil de la théorie de l’information, pourtant l’utilisation de nombres réels dans l’espace de Hilbert occulte cela. Dans la mécanique quantique rationnelle, l’utilisation d’une métrique p-adique et d’espaces d’états discrets permet une réduction claire vers les limites classiques. De plus, cette discrétisation prédit des limites physiques tangibles, telles que la potentielle saturation de l’algorithme de Shor à environ 1 000 qubits, fournissant une frontière testable pour la puissance de calcul quantique.

La mécanique quantique rationnelle peut-elle expliquer les violations des inégalités de Bell ?

La mécanique quantique rationnelle explique les violations des inégalités de Bell par le superdéterminisme, où l’hypothèse d’indépendance statistique est formellement violée par les propriétés de théorie des nombres des fonctions trigonométriques. Cela fournit une interprétation locale et réaliste des corrélations quantiques sans nécessiter d’« action fantôme à distance ». En corrélant les variables cachées avec les réglages de l’expérimentateur par le biais d’une géométrie fractale commune, la RaQM reste cohérente avec une physique locale au sens de Bell tout en correspondant aux observations expérimentales.

La violation des inégalités de Bell est généralement citée comme preuve que l’univers est soit non local, soit non réaliste. Cependant, les recherches de Palmer suggèrent une troisième option : le holisme. En utilisant les propriétés de la théorie des nombres de la fonction cosinus, la RaQM montre que certaines combinaisons d’états sont mathématiquement « interdites » dans un univers discret. Cela signifie que les choix d’un expérimentateur et l’état de la particule ne sont pas indépendants mais sont liés par la structure holistique de l’espace d’états. Cette approche respecte le principe de Mach, suggérant que les lois physiques locales sont déterminées par la structure à grande échelle de l’univers.

Théorie des nombres vs Probabilité : le rôle de la fonction cosinus

La clé pour résoudre les mystères de la mécanique quantique dans la RaQM réside dans une propriété cachée de la fonction cosinus qui n’apparaît que lorsque les angles ne sont pas continus. Dans un monde continu, la fonction cosinus peut prendre n’importe quelle valeur entre -1 et 1, facilitant des distributions de probabilité lisses. Dans un espace d’états discrétisé, cependant, le cosinus d’un angle rationnel est souvent irrationnel, ce qui crée un fossé mathématique entre ce qui est possible dans un continuum et ce qui est possible dans une réalité discrète.

Cette propriété de la théorie des nombres décrit l’indivisibilité absolue du monde quantique. Elle implique que les nombres complexes utilisés dans les formules quantiques ne sont pas seulement des outils arbitraires, mais sont nécessaires pour représenter les rotations au sein de cette géométrie discrète. Les caractéristiques clés de la théorie incluent :

• Discrétisation gravitationnelle : l’espace d’états est « pixelisé » à une échelle potentiellement liée à la longueur de Planck.
• Holisme structurel : les interactions sont régies par la géométrie globale d’un attracteur chaotique plutôt que par des signaux locaux.
• Amplitudes rationnelles : les probabilités sont dérivées de nombres rationnels, éliminant le besoin de chaînes décimales infinies.

Holisme vs Non-localité : redéfinir la réalité

La distinction entre holisme et non-localité est centrale pour comprendre comment la mécanique quantique rationnelle redéfinit notre vision de la causalité. Tandis que la non-localité suggère qu’une action ici affecte quelque chose là-bas plus vite que la lumière, le holisme suggère que les deux événements font partie d’une seule et même structure fractale indivisible. Cela est illustré par la géométrie fractale d’un attracteur chaotique, où l’« état » du système est contraint par un motif global qui rend certains résultats locaux impossibles.

En adoptant le holisme, la RaQM évite les concepts « incompréhensibles » de signalisation supraluminique ou l’absence d’une réalité définie. Au lieu de cela, elle pose que l’univers est déterministe et local, mais que son espace d’états est beaucoup plus restreint que ce que le continuum suggère. Cette perspective s’aligne sur le principe de Mach, selon lequel les référentiels inertiels locaux sont déterminés par la distribution de la matière dans le reste de l’univers. Dans cette optique, les corrélations « fantômes » de la mécanique quantique sont simplement la manifestation d’un univers qui est holistiquement interconnecté à son niveau discret le plus fondamental.

L’avenir de la physique discrète

L’avenir de la physique discrète réside dans la vérification expérimentale des limites de la cohérence quantique et dans l’intégration de la gravité dans les modèles d’espace d’états. Si l’espace de Hilbert est effectivement discrétisé par la gravité, nous devrions observer une rupture des superpositions quantiques à mesure que les systèmes atteignent un certain niveau de complexité. Un jalon prédit est l’échec des ordinateurs quantiques à grande échelle à maintenir la cohérence au-delà d’un nombre spécifique de qubits, un événement qui constituerait une preuve irréfutable de la théorie de Tim Palmer.

En fin de compte, la mécanique quantique rationnelle offre une voie vers l’unification tant recherchée de la gravité et de la mécanique quantique. En supprimant la fiction mathématique du continuum, les physiciens pourraient découvrir que l’« étrangeté » du monde quantique est en réalité le résultat d’une élégance arithmétique très précise. Alors que nous nous dirigeons vers le test de ces théories dans des laboratoires de haute précision, la transition d’un univers continu vers une réalité discrète et holistique pourrait marquer le changement de paradigme le plus significatif en physique depuis les années 1920.